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Informações importantes
Sobre a disciplina
Uma análise teórica abrangente e abordagem de aspectos computacionais de métodos numéricos aplicados à resolução de sistemas lineares e não lineares, quadrados mínimos lineares e cálculo de autovalores e autovetores. Introduzir os fundamentos matemáticos dos métodos numéricos básicos utilizados na solução (tipicamente aproximada) de modelos matemáticos lineares Ax=b e não lineares F(x)=0, que surgem naturalmente nas ciências puras e aplicadas, nas engenharias e em nosso dia-a-dia. Cumpre observar que a formulação e a construção de tais métodos numéricos de aproximação é baseada em resultados matemáticos rigorosos e, portanto, não são dependentes de uma linguagem de programação particular.
Uma visão sobre Análise Numérica:
Análise numérica combina elementos fundamentais da teoria matemática e de computação científica para o tratamento de diversos problemas, tanto de interesse acadêmico como de amplo uso dos setores produtivos e na indústria. Uma perspectiva história sobre esse tema pode ser obtida no link seguinte: The History of Numerical Analysis and Scientific Computing.
Datas das provas
Datas em breve!
- Prova 1: 27/04 – Tópicos da ementa: 1 a 4
- Prova 2: 29/06 – Tópicos da ementa: 5 a 8
- Segunda Chamada: 13/07 – Tópicos da ementa: 1 a 8
- Exame: 13/07 – Tópicos da ementa: 1 a 8
Ementa
Fatoração de Choleski. Fatorações ortogonais. Quadrados mínimos lineares. Decomposição em valores singulares. Métodos iterativos para resolução de sistemas lineares. Introdução à resolução de sistemas não-lineares. Cálculo de autovalores e autovetores
Em tópicos:
1. Análise de Sensibilidade de Sistemas Lineares: Normas Consistentes em Espaços de Vetores e de Matrizes. Definição de número de condição.
2. Resolução de sistemas lineares e análise – Métodos Diretos fatoração LU; fatoração Cholesky.
3. Resolução de sistemas lineares e análise – Métodos iterativos e sua análise de convergência (métodos de Gauss-Jacobi, Gauss-Seidel e SOR; discussão do método dos gradientes conjugados (formulação teórica/exata como um como método direto e uso computacional em aritmética de ponto flutuante como um método iterativo).
4. Quadrados mínimos lineares: colocação do problema – métodos Diretos: projeção ortogonal no espaço coluna de uma matriz; Subespaços Fundamentais de uma Matriz; métodos de resolução: equações normais, fatoração Cholesky para mínimos quadrados. fatorações ortogonais: transformações de Householder e transformações de Givens. Decomposição em valores singulares.
5. Quadrados mínimos lineares – métodos iterativos fatoração QR (A decomposição de Schur de uma dada matriz é conhecida por ser calculada numericamente pelo algoritmo QR e suas variantes); decomposição SVD (Singular Value Decomposition).
6. Cálculo de autovalores e autovetores para matrizes simétricas: Decomposição de Schur, Equação de Sylvester e Decomposição Espectral. Teorema Espectral. método das potências e método QR.
7. Introdução à resolução de sistemas não lineares: O método de Newton;
8. Variantes do método de Newton (por exemplo, os métodos de Krylov e de Broyden).
Programa:
Uma análise teórica abrangente e abordagem de aspectos computacionais de métodos numéricos aplicados à resolução de sistemas lineares e não lineares, quadrados mínimos lineares e cálculo de autovalores e autovetores. Na análise teórica serão utilizados conceitos de cálculo diferencial e integral e álgebra matricial. Todos os tópicos deverão ser acompanhados de exercícios e projetos computacionais que utilizarão um software matemático, em particular o MatLab (em particular, sobre o MatLab, fica o entendimento de ser apenas mais um “software matemático” entre muitos outros de bom nível acadêmico, tais como: Maple, Mathematica Matlab, Octave e o Scilab). Evidentemente, em oposição aos “softwares matemáticos” previamente listados como exemplo, são também de reconhecida qualidade as Linguagens de Programação Baixo nível, tais com Pascal, C e FORTRAN (FORTRAN é um acrônimo da expressão IBM Mathematical FORmula TRANslation System).
Bibliografia
obs: Todas estão disponíveis na Biblioteca do IMECC
- D. S. Watkins, Fundamentals of Matrix Computations, New Jersey: John Wiley & Sons, 2 ed., 2002 (3 ed., 2010).
- P. Pulino, Algebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula, IMECC, UNICAMP, Janeiro de 2015 http://www.ime.unicamp.br/~pulino/ALESA/.
- C.T. Kelley, Iterative methods for linear and nonlinear equations, Philadelphia, PA – SIAM, 1995. Série (Frontiers in applied mathematics; v. 16).
- M. C. Cunha, Métodos Numéricos, Campinas: Editora da Unicamp, 2 ed. revista e ampliada, 2000.
- C. D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Philadelphia: SIAM, 2000.
- B. Noble & J.W. Daniel, Applied Linear Algebra, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 3 ed., 1988.
- G.H.Golub and C.F.van Loan, Matrix Computations, 3.ed. The Johns Hopkins University Press.
- G.E.Forsythe and B.C.Moler, Computer Solution of Linear Algebra Systems, Prentice-Hall, 1967.
- H. Anton e R. C. Busby – Algebra Linear Contemporânea, Bookman, 2006.
- L. N. Trefethen & D. Bau III – Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997.
- G. Strang, Linear Algebra and its Applications, Harcourt Brace Jovanovich, 1988.
- Peter Deuflhard. Newton methods for nonlinear problems: affine invariance and adaptive algorithms Springer series in computational mathematics; 35), Berlin -Springer, 2004.
- L. Burden e J. Douglas Faires, Análise Numérica, revisão técnica Helena Maria Ávila de Castro. São Paulo, SP : Cengage Learning, 2013 (Tradução da 8ª edição norte-americana).
- Ian T. Jolliffe, Principal Component Analysis (Springer Series in Statistics), 2nd Edition, – Springer (October 1, 2002)
- Yousef Saad.Iterative methods for sparse linear systems (1st/2ed), Philadelphia – SIAM, 2003.
- C. T. Kelley. Fundamentals of Algorithms Solving Nonlinear Equations with Newton’s Methods, Philadelphia – SIAM, 2003.
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